高等电动力学的一个证明

命题:

对平面波按矢量球波函数进行展开。

其中,

证明:

矢量球波函数:

其中,可以是四个球贝塞尔函数之中的任意一个。

对于平面波:

由矢量球波函数的各分量特点,首先考虑使用组合出分量。

考虑的变化规律,则

考虑的对称性,则在展开中只存在项,(同理可得)。

那么命题变为考虑(记为),使得

,则命题变为:

由连带勒让德函数正交关系:

对(1)式乘并对求积分,可得:

继续计算需要得到的正交关系:

不是正交的,但有:

这不影响我们的结果,(2)两边乘,对求积分:

可得:

后半部分积分:

,,可得:

mathematica进行计算符合命题。

根据

根据,上式化为:

综上

此时,

接下来需要考虑方向,此时没有正交关系,将十分难以进行计算,于此补上正交关系证明

对于任意时,

故(4)式对任意都等于零。

同理,对任意成立(提取方向即得)

时,上式等于零,当时,上式化为:

由于

故(5)式恒等于0。

所以,对任意成立

同理可得:

(6)式前半部分结果为:

(6)式后半部分变为:

由于