命题:
对平面波
其中,
证明:
矢量球波函数:
其中,
对于平面波:
由矢量球波函数的各分量特点,首先考虑使用
考虑
考虑
那么命题变为考虑
取
由连带勒让德函数正交关系:
对(1)式乘
继续计算需要得到
这不影响我们的结果,(2)两边乘
可得:
后半部分积分:
由
mathematica进行计算符合命题。
根据
根据
综上,
此时,
接下来需要考虑
对于任意
故(4)式对任意
同理,对任意
当
由于
故(5)式恒等于0。
所以,对任意
同理可得:
(6)式前半部分结果为:
(6)式后半部分变为:
由于